已知等比数列 $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n, \cdots$的首项为 $2$，公比为 $1+\sqrt3$。记 $S_n$ 为该等比数列的前 $n$ 项和，则当 $S_{10} = a + b\sqrt3$ 时，求 $a$ 和 $b$ 的值。

提示：等比数列的公式为 $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$，前 $n$ 项和公式为 $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

  1. 已知 $a,b \in \mathbb{R}$，且 $a+b=2$，求 $\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1}$ 的最小值。

  2. 设 $f(x)=\log_2{(x+1)}-2\log_2{(x+\sqrt{x^2+1}+1)}$，求 $f'(x)$ 的值域。

  3. 在圆锥侧面剖一个半角为 $\frac{\pi}{4}$ 的截面，则此截面周长与面积的比值为多少？

  4. 已知三次方程 $x^3+ax^2+bx+c=0$ 的三个根 $x_1,x_2,x_3$ 满足 $x_1+x_2=2$，$x_1+x_3=3$，$x_2+x_3=4$，求 $a,b,c$ 的值。

  5. 在平面直角坐标系中，以 $O(0,0)$ 为圆心，以半径为 $2$ 的圆为底面，在 $z=2$ 的平面上方以圆为截面的旋转体 $S$ 的体积为 $V$，求旋转轴过 $A(2,2,0)$ 的平面截断旋转体所得立体图形的面积。

$$E=MC^2$$