选择风格关闭

当x趋近于0时，求下列函数的极限：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (3x)}{2x}$$

解答：

我们可以利用极限的性质来求解这个问题。首先，我们将函数中的分子展开为泰勒级数（泰勒展开）：

$$\sin (3x)=3x-\frac{(3x{)}^3}{3!}+\frac{(3x{)}^5}{5!}-\dots$$

将展开后的式子代入原函数，得到：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{3x-\frac{(3x{)}^3}{3!}+\frac{(3x{)}^5}{5!}-\dots }{2x}$$

对于分子部分，我们可以进行简化，消去$x$的影响，得到：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{3-\frac{(3x{)}^2}{2!}+\frac{(3x{)}^4}{4!}-\dots }{2}$$

当$x$趋近于0时，$(3x{)}^n$中的$x$的幂次会越来越小，可以忽略高阶项。因此，我们得到：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{3}{2}$$

最终，我们得到极限的结果为：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (3x)}{2x}=\frac{3}{2}$$

因此，当$x$趋近于0时，给定函数的极限为$\frac{3}{2}$。