$$ 为了找到I(a)的最小值和对应的a，我们先计算积分I(a)，然后找到它的最小值。$$

$$I(a)=\int_0^{\pi}(a\sin x-\pi)^2\,dx展开积分中的平方，$$

$$我们得到：I(a)=\int_0^{\pi}(a^2\sin^2x-2a\pi\sin x+\pi^2)\,$$

$$dx由于积分是线性的，$$

$$我们可以分别对三项进行积分：I(a)=\int_0^{\pi}a^2\sin^2x\,dx-2a\pi\int_0^{\pi}\sin x\,dx+\int_0^{\pi}\pi^2\,$$

$$dx对于第一项，我们使用半角公式\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}：\int_0^{\pi}a^2\sin^2x\,dx=\frac{a^2}{2}\int_0^{\pi}(1-\cos2x)\,$$

$$dx第一项积分后得到：\frac{a^2}{2}\left[x\right]_0^{\pi}-\frac{a^2}{2}\int_0^{\pi}\cos2x\,$$

$$dx由于\cos2x是周期函数，在0到\pi上的积分为零，所以我们得到：\frac{a^2}{2}\left[x\right]_0^{\pi}=\frac{a^2}{2}\pi对于第二项，$$

$$零到\pi上的正弦函数的积分也为零：-2a\pi\int_0^{\pi}\sin x\,$$

$$dx=0对于第三项，我们得到：\int_0^{\pi}\pi^2\,dx=\pi^3所以，I(a)变为：I(a)=\frac{a^2}{2}\pi+\pi^3$$

$$现在，我们要最小化这个表达式。$$

$$由于这是一个只含a的二次函数，它开口向上，故它的最小值在顶点处取得，这个顶点的a值可以通过对a求导并令导数为零来找到。$$

$$对I(a)关于a求导，$$

$$得到：I^{\prime}(a)=a\pi令导数等于零，$$

$$得到：a\pi=0\implies a=0因此，当a=0时，I(a)取得最小值。将a=0代回I(a)，$$

$$得到I(0)的值：I(0)=\pi^3所以，I(a)的最小值为\pi^3，当a=0时取得。 $$